Beranda / Materi / Aljabar & Fungsi Dasar / Fungsi Linear
BAB A · No. 03

Fungsi Linear

Pelajari konsep gradien, cara menggambar grafik garis lurus, menentukan persamaan garis, dan aplikasi nyata fungsi linear dalam kehidupan sehari-hari.

Kelas X Aljabar & Fungsi 7 Sub-bab 19 Contoh Soal
Daftar Isi

APengertian Fungsi Linear

Fungsi linear adalah fungsi polinomial berderajat satu yang grafiknya berupa garis lurus. Bentuk umum fungsi linear adalah:

Rumus Umum
$$f(x) = mx + c \quad \text{atau} \quad y = mx + c, \quad m \neq 0,\; m,c \in \mathbb{R}$$

dengan:

Sifat-sifat fungsi linear:

⚠ Catatan Penting

Persamaan $y = c$ (dengan $m = 0$) adalah fungsi konstan, bukan fungsi linear, karena grafiknya berupa garis horizontal. Persamaan $x = k$ bukan fungsi karena satu nilai $x$ menghasilkan banyak nilai $y$.

📘 Contoh 1

Manakah yang merupakan fungsi linear? Jelaskan!

  1. $y = 3x - 5$
  2. $y = x^2 + 2$
  3. $2x + y = 7$
  4. $y = 4$
Penyelesaian:
  1. $y = 3x - 5$ → Fungsi linear, $m = 3$, $c = -5$
  2. $y = x^2 + 2$ → Bukan fungsi linear (derajat dua/kuadrat)
  3. $2x + y = 7 \Rightarrow y = -2x + 7$ → Fungsi linear, $m = -2$, $c = 7$
  4. $y = 4$ → Bukan fungsi linear (fungsi konstan, $m = 0$)
📘 Contoh 2

Tentukan nilai $m$ dan $c$ dari fungsi linear berikut!

  1. $f(x) = -5x + 7$
  2. $y = \dfrac{2}{3}x - 4$
  3. $4x - 2y + 8 = 0$
Penyelesaian:
  1. $f(x) = -5x + 7$
    $m = -5,\; c = 7$
  2. $y = \dfrac{2}{3}x - 4$
    $m = \dfrac{2}{3},\; c = -4$
  3. $4x - 2y + 8 = 0 \Rightarrow y = 2x + 4$
    $m = 2,\; c = 4$
📘 Contoh 3

Diketahui $f(x) = 3x + k$ dan $f(2) = 11$. Tentukan nilai $k$ dan rumus lengkap fungsinya!

Penyelesaian:
Substitusi $x = 2$ dan $f(2) = 11$: $$11 = 3(2) + k \Rightarrow 11 = 6 + k \Rightarrow k = 5$$ Jadi $f(x) = 3x + 5$.

BGradien (Kemiringan Garis)

Gradien suatu garis adalah angka yang menunjukkan tingkat kemiringan garis terhadap sumbu $X$. Gradien dilambangkan dengan $m$.

1. Gradien dari Dua Titik

Jika sebuah garis melalui titik $A(x_1, y_1)$ dan titik $B(x_2, y_2)$, maka gradiennya:

Rumus Gradien
$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \tan\alpha$$
x y O α y1 y2 x1 x2 A(x1, y1) B(x2, y2) Δx Δy
⚠ Catatan

Sudut $\alpha$ diukur dari sumbu $X$ positif, dengan $0^\circ \leq \alpha < 180^\circ$. Untuk garis vertikal, $\alpha = 90^\circ$ dan gradiennya tidak terdefinisi.

📘 Contoh 4

Tentukan gradien garis yang melalui titik $P(2, 1)$ dan $Q(5, 7)$.

Penyelesaian: $$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{7 - 1}{5 - 2} = \frac{6}{3} = \mathbf{2}$$
📘 Contoh 5

Sebuah garis memiliki sudut inklinasi $\alpha = 135^\circ$. Tentukan gradiennya.

Penyelesaian: $$m = \tan 135^\circ = \tan(180^\circ - 45^\circ)$$ $$= -\tan 45^\circ = \mathbf{-1}$$
📘 Contoh 6

Tentukan gradien garis yang melalui titik $A(-4, 2)$ dan $B(2, -1)$.

Penyelesaian: $$m = \frac{-1 - 2}{2 - (-4)} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$$ Karena $m < 0$, garis ini turun dari kiri ke kanan.
📘 Contoh 7

Diketahui tiga titik $P(1, 3)$, $Q(3, 7)$, dan $R(5, k)$ terletak pada satu garis lurus. Tentukan nilai $k$!

Penyelesaian:
Karena $P$, $Q$, $R$ segaris, gradien $PQ$ harus sama dengan gradien $QR$.

Gradien $PQ$: $m_{PQ} = \dfrac{7-3}{3-1} = 2$

Gradien $QR = 2$: $$\frac{k-7}{5-3} = 2 \Rightarrow k - 7 = 4 \Rightarrow \mathbf{k = 11}$$

2. Gradien dari Persamaan Garis

📘 Contoh 8

Tentukan gradien garis dari persamaan $3x - 4y + 12 = 0$.

Penyelesaian:
Ubah ke bentuk $y = mx + c$: $$3x - 4y + 12 = 0 \Rightarrow y = \frac{3}{4}x + 3$$ Gradiennya adalah $m = \dfrac{3}{4}$.
Cara cepat: $m = -\dfrac{a}{b} = -\dfrac{3}{-4} = \dfrac{3}{4}$ ✓

3. Jenis-Jenis Gradien

x y m > 0 garis naik x y m < 0 garis turun x y m = 0 horisontal x y tak terdefinisi vertikal
Nilai $m$Arah GarisKeterangan
$m > 0$Naik (↗)Nilai $y$ bertambah seiring $x$ bertambah
$m < 0$Turun (↘)Nilai $y$ berkurang seiring $x$ bertambah
$m = 0$Horizontal (→)Garis sejajar sumbu $X$; fungsi konstan
$m$ tak terdefinisiVertikal (↑)Garis sejajar sumbu $Y$; bukan fungsi
Soal Latihan
  1. Tentukan gradien garis yang melalui titik $A(1,-3)$ dan $B(5,9)$.
  2. Tentukan gradien garis dengan persamaan $4x - 2y + 6 = 0$.
  3. Sebuah garis memiliki sudut inklinasi $\alpha = 135^\circ$. Tentukan gradiennya.
  4. Tentukan gradien garis yang melalui titik $P(-3,4)$ dan sejajar sumbu $X$.
  5. Dari persamaan $3x + 5y = 30$, tentukan gradien, titik potong sumbu $X$, dan titik potong sumbu $Y$.
  6. Sebuah jalan menanjak sepanjang 500 m horizontal dan naik 75 m secara vertikal. Hitung gradien jalan tersebut dan nyatakan dalam persen.

CMenggambar Grafik Fungsi Linear

Untuk melukis grafik $y = mx + c$, cukup tentukan dua titik lalu hubungkan dengan garis lurus.

Langkah-langkah:

  1. Titik potong sumbu $Y$: substitusi $x = 0$, diperoleh titik $(0, c)$
  2. Titik potong sumbu $X$: substitusi $y = 0$, selesaikan untuk $x$
  3. Buat tabel pasangan titik $(x, y)$
  4. Plot kedua titik pada bidang Cartesius
  5. Hubungkan kedua titik dengan garis lurus
💡 Tip

Untuk menggambar grafik $y = mx$ (yang melewati titik asal $O(0,0)$), pilih satu nilai $x$ lainnya untuk mendapatkan titik kedua, misalnya $x = 1$ atau $x = 2$.

📘 Contoh 9

Gambarlah grafik $y = 2x + 4$ pada bidang Cartesius.

Penyelesaian:
Titik potong sumbu $Y$ ($x=0$): $y = 4 \Rightarrow (0, 4)$
Titik potong sumbu $X$ ($y=0$): $0 = 2x + 4 \Rightarrow x = -2 \Rightarrow (-2, 0)$

Tabel:
$x$$y$$(x, y)$
$0$$4$$(0, 4)$
$-2$$0$$(-2, 0)$
x y O 1 2 -1 -2 0 1 2 3 4 -1 y=2x+4 (0, 4) (-2, 0)
📘 Contoh 10

Gambarlah grafik $f(x) = \dfrac{3}{2}x - 3$ dan tentukan luas segitiga yang dibentuk oleh garis tersebut dengan sumbu $X$ dan sumbu $Y$!

Penyelesaian:
Titik potong sumbu $Y$ ($x=0$): $y = -3 \Rightarrow (0, -3)$
Titik potong sumbu $X$ ($y=0$): $0 = \dfrac{3}{2}x - 3 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow (2, 0)$

Luas segitiga (alas $= 2$, tinggi $= 3$): $$L = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = \mathbf{3}\text{ satuan luas}$$
x y O 1 2 3 -1 0 1 2 3 -1 -2 -3 y=³⁄₂x−3 (2, 0) (0, −3) alas=2 t=3
Soal Latihan
  1. Gambarlah grafik $y = -x + 5$ pada bidang Cartesius. Tentukan titik potong sumbu $X$ dan sumbu $Y$.
  2. Gambarlah grafik $2x - 3y = 6$ menggunakan metode dua titik intercept.
  3. Diketahui grafik fungsi linear melalui titik $(0,-2)$ dan memiliki gradien $3$. Gambarlah grafiknya.
  4. Gambarlah dua grafik $y = 2x$ dan $y = 2x + 3$ dalam satu bidang Cartesius. Apa yang dapat kamu simpulkan?

DMenentukan Persamaan Garis Lurus

1. Diketahui Gradien dan Satu Titik

Rumus
$$y - y_1 = m(x - x_1)$$
📘 Contoh 11

Tentukan persamaan garis dengan gradien $3$ yang melalui titik $P(2, -4)$.

Penyelesaian: $$y - (-4) = 3(x - 2) \Rightarrow y + 4 = 3x - 6$$ $$y = 3x - 10$$

2. Diketahui Dua Titik

Rumus
$$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$$
📘 Contoh 12

Tentukan persamaan garis yang melalui titik $P(-2, 3)$ dan titik $Q(2, -5)$.

Penyelesaian:
Hitung gradien: $m = \dfrac{-5-3}{2-(-2)} = \dfrac{-8}{4} = -2$

Gunakan rumus persamaan garis melalui $P(-2, 3)$: $$y - 3 = -2(x + 2) \Rightarrow y = -2x - 1$$

3. Bentuk Intercept

Rumus (titik potong sumbu X di $(a,0)$ dan sumbu Y di $(0,b)$)
$$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$$
📘 Contoh 13

Sebuah garis memotong sumbu $X$ di $(5, 0)$ dan sumbu $Y$ di $(0, 3)$. Tentukan persamaan garisnya!

Penyelesaian: $$\frac{x}{5} + \frac{y}{3} = 1 \Rightarrow 3x + 5y = 15$$
Soal Latihan
  1. Tentukan persamaan garis dengan gradien $-2$ yang melalui titik $(3,7)$.
  2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik $A(1,5)$ dan $B(-3,-3)$.
  3. Sebuah garis memotong sumbu $X$ di $(-4,0)$ dan sumbu $Y$ di $(0,6)$. Tentukan persamaannya.
  4. Tentukan persamaan garis yang melalui titik $(-1,4)$ dan $(3,-4)$.
  5. Sebuah garis memotong sumbu $X$ di $(6,0)$ dan sumbu $Y$ di $(0,-3)$. Tulis dalam bentuk intercept, lalu ubah ke bentuk $y = mx + c$.

EKedudukan Dua Garis Lurus

KedudukanSyarat GradienSyarat KonstantaTitik Potong
Sejajar ($g \parallel h$)$m_1 = m_2$$c_1 \neq c_2$Tidak ada
Berpotongan$m_1 \neq m_2$BebasTepat satu titik
Tegak lurus ($g \perp h$)$m_1 \times m_2 = -1$BebasTepat satu titik (90°)
Berimpit$m_1 = m_2$$c_1 = c_2$Tak hingga titik
xy g h Sejajar m₁=m₂, c₁≠c₂ xy g h Berpotongan m₁≠m₂ xy g h Tegak Lurus m₁×m₂=−1 xy g≡h Berimpit m₁=m₂, c₁=c₂
📘 Contoh 14

Tentukan persamaan garis yang melalui titik $A(2, 5)$ dan sejajar dengan garis $y = 3x - 4$.

Penyelesaian:
Gradien $y = 3x - 4$ adalah $m_1 = 3$. Karena sejajar, $m_2 = 3$. $$y - 5 = 3(x - 2) \Rightarrow y = 3x - 1$$
📘 Contoh 15

Tentukan persamaan garis yang melalui titik $B(4, -1)$ dan tegak lurus dengan garis $y = 2x + 7$.

Penyelesaian:
$m_1 = 2$, maka $m_2 = -\dfrac{1}{2}$ $$y + 1 = -\frac{1}{2}(x - 4) \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x + 1$$
📘 Contoh 16

Tentukan titik potong garis $y = 2x + 1$ dan garis $y = -x + 7$.

Penyelesaian: $$2x + 1 = -x + 7 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$$ Substitusi: $y = 2(2) + 1 = 5$. Titik potong: $(2,\,5)$.
Soal Latihan
  1. Tentukan persamaan garis yang melalui $A(3,-2)$ dan sejajar dengan garis $y = -4x + 1$.
  2. Tentukan persamaan garis yang melalui $B(-1,3)$ dan tegak lurus dengan garis $y = \frac{1}{3}x - 2$.
  3. Tentukan titik potong garis $3x - y = 1$ dan $x + 2y = 12$.
  4. Tentukan kedudukan garis $g: 3x - 6y + 12 = 0$ dan $h: x - 2y - 4 = 0$.
  5. Diketahui garis $p: y = 2x - 3$ dan $q: ax + y + 1 = 0$ saling tegak lurus. Tentukan nilai $a$.

FAplikasi Fungsi Linear dalam Kehidupan

📘 Contoh 17 — Ongkos Taksi

Sebuah taksi online mengenakan tarif awal Rp10.000 dan tarif Rp3.000 per km. Buat model fungsi linearnya dan hitung ongkos untuk jarak 12 km!

Penyelesaian:
Model: $y = 3.000x + 10.000$
Untuk $x = 12$: $y = 3.000(12) + 10.000 = \text{Rp}46.000$
📘 Contoh 18 — Lilin Terbakar

Sebuah lilin panjangnya 24 cm. Setiap jam panjangnya berkurang 3 cm. Kapan lilin habis?

Penyelesaian:
Model: $y = -3x + 24$
Lilin habis saat $y = 0$: $0 = -3x + 24 \Rightarrow x = \mathbf{8}\text{ jam}$
📘 Contoh 19 — Break-Even Point

Seorang pedagang membeli buah Rp8.000/kg, biaya transportasi Rp20.000, dan menjual Rp15.000/kg. Tentukan titik impas!

Penyelesaian:
Fungsi biaya: $C(x) = 8.000x + 20.000$
Fungsi pendapatan: $R(x) = 15.000x$

Titik impas ($C = R$): $$8.000x + 20.000 = 15.000x \Rightarrow x \approx 2{,}86 \text{ kg}$$ Jadi harus menjual minimal 3 kg agar tidak rugi.
x y O 1 2 3 4 5 10 20 30 40 50 60 C(x) R(x) BEP 2,86 42,9 Rugi Untung
Soal Latihan
  1. Sebuah konter pulsa menjual paket data dengan harga awal Rp5.000 ditambah Rp2.000 per GB. Buatlah model fungsi linearnya dan tentukan harga untuk paket 8 GB.
  2. Sebuah tangki berisi 200 liter air. Air dipompa keluar sebesar 25 liter per jam. Kapan tangki kosong?
  3. Pada hari ke-2 setelah panen berat buah 480 kg. Pada hari ke-5, tinggal 390 kg. Kapan gudang kosong?
  4. Titik beku air $= 273\,\mathrm{K} = 0^\circ\mathrm{C}$ dan titik didih $= 373\,\mathrm{K} = 100^\circ\mathrm{C}$. Tentukan konversi $K = f(C)$ dan hitung $25^\circ C$ dalam Kelvin.
  5. Biaya produksi $C = 500x + 8.000$ (ribu rupiah), harga jual Rp1.500 ribu per unit. Berapa unit minimum agar tidak rugi?

GTabel Ringkasan

Bentuk Umum & Unsur-Unsur

UnsurRumus / NilaiKeterangan
Bentuk umum$f(x) = mx + c$$m \neq 0$; $m, c \in \mathbb{R}$
Titik potong sumbu $Y$$(0, c)$Substitusi $x = 0$
Titik potong sumbu $X$$\left(-\dfrac{c}{m}, 0\right)$Substitusi $y = 0$
Domain$\mathbb{R}$Semua bilangan real
Range$\mathbb{R}$Semua bilangan real

Menentukan Persamaan Garis

DiketahuiRumus
Gradien $m$ dan titik $(x_1, y_1)$$y - y_1 = m(x - x_1)$
Dua titik $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$$\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1} = \dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}$
Intercept $(a,0)$ dan $(0,b)$$\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$
Sejajar garis $m_1$, melalui $(x_1,y_1)$$y - y_1 = m_1(x - x_1)$
Tegak lurus garis $m_1$, melalui $(x_1,y_1)$$y - y_1 = -\dfrac{1}{m_1}(x - x_1)$
Koneksi ke Materi Berikutnya

Fungsi Linear adalah fondasi utama Fungsi Kuadrat. Pada materi ini, gradien $m$ bersifat konstan — artinya kemiringan garis tidak pernah berubah. Pada Fungsi Kuadrat, "gradien" tersebut berubah setiap saat mengikuti nilai $x$, sehingga grafiknya bukan garis lurus melainkan kurva parabola.

Sekarang
$f(x) = mx + c$
Grafik: garis lurus
Gradien: tetap
Kembali ke Semua Materi Fungsi Kuadrat
Kerjakan Latihan Soal Fungsi Linear Segera

Diskusi & Pertanyaan

Giscus

Punya pertanyaan tentang materi ini? Tulis di kolom diskusi. Login dengan akun GitHub gratis.

💬

Sistem komentar menggunakan Giscus — gratis, tanpa iklan, berbasis GitHub Discussions.

Untuk mengaktifkan, konfigurasikan repo di giscus.app lalu tempel script-nya di sini.