Pelajari jenis-jenis fungsi, domain, operasi komposisi, cara menentukan fungsi invers, dan hubungan keduanya. Fondasi penting untuk kalkulus dan analisis fungsi lanjut.
Fungsi (pemetaan) dari himpunan $A$ ke himpunan $B$ adalah aturan yang memasangkan setiap anggota $A$ dengan tepat satu anggota $B$.
Notasi Fungsi
$$f : A \to B, \quad f(x) = y$$
$A$ = domain (daerah asal)
$B$ = kodomain (daerah kawan)
$f(A)$ = range (daerah hasil) — semua nilai $f(x)$ yang terbentuk
1. Jenis-Jenis Fungsi
a. Fungsi Injektif (Satu-Satu) — Setiap dua elemen berbeda di $A$ dipetakan ke elemen berbeda di $B$. Dengan kata lain: $x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)$, atau ekuivalennya $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$.
b. Fungsi Surjektif (Pada) — $f(A) = B$ (range = kodomain). Setiap $y \in B$ punya paling sedikit satu pasangan $x \in A$.
c. Fungsi Bijektif (Korespondensi Satu-Satu) — injektif sekaligus surjektif.
⚠ Catatan Penting
Hanya fungsi bijektif yang memiliki fungsi invers. Jika $f$ tidak bijektif, maka $f^{-1}$ bukan merupakan fungsi.
2. Domain Berbagai Jenis Fungsi
Fungsi Polinomial $a_nx^n + \cdots + a_1x + a_0$
Tidak ada batasan — semua nilai $x$ boleh disubstitusi.
$$D_f = \mathbb{R}$$
Fungsi Pecahan $\dfrac{p(x)}{q(x)}$
$$D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid q(x) \neq 0\}$$
Fungsi Akar $\sqrt{h(x)}$
$$D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid h(x) \geq 0\}$$
Fungsi Pecahan Berakar $\dfrac{p(x)}{\sqrt{q(x)}}$
$$D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid q(x) > 0\}$$
📘 Contoh 1
Tentukan domain dari $f(x) = 5x^3 - 2x + 7$.
Penyelesaian:
$f(x)$ adalah fungsi polinomial, tidak ada batasan nilai $x$.
$$D_f = \mathbb{R}$$
$$\text{Tidak komutatif: } f \circ g \neq g \circ f$$
$$\text{Asosiatif: } f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$$
$$\text{Identitas: } f \circ I = I \circ f = f, \quad I(x)=x$$
📘 Contoh 7
Misalkan $f = \{(1,4),(2,3),(3,1),(4,2)\}$ dan $g = \{(1,2),(2,4),(3,1),(4,3)\}$. Tentukan $f \circ g$ dan $g \circ f$.
Penyelesaian: $f \circ g$: setiap $x$ dipetakan $g$ dulu, lalu hasilnya dipetakan $f$.
$(1,2)\to f(2)=3$, $(2,4)\to f(4)=2$, $(3,1)\to f(1)=4$, $(4,3)\to f(3)=1$
$\Rightarrow f \circ g = \{(1,3),(2,2),(3,4),(4,1)\}$
$g \circ f$: setiap $x$ dipetakan $f$ dulu, lalu hasilnya dipetakan $g$.
$(1,4)\to g(4)=3$, $(2,3)\to g(3)=1$, $(3,1)\to g(1)=2$, $(4,2)\to g(2)=4$
$\Rightarrow g \circ f = \{(1,3),(2,1),(3,2),(4,4)\}$
Terlihat $f \circ g \neq g \circ f$ — membuktikan sifat tidak komutatif.
📘 Contoh 8
Diketahui $f(x) = 2x - 1$ dan $g(x) = x^2 - 3x + 5$. Tentukan $(f \circ g)(x)$ dan $(g \circ f)(x)$.
Diketahui $f(x) = 3x+1$ dan $h(x) = 9x+7$. Jika $f \circ g = h$, tentukan $g(x)$.
Diketahui $g(x) = x+4$ dan $h(x) = 2x^2+16x+33$. Jika $f \circ g = h$, tentukan $f(x)$.
Diketahui $f(x) = 2x-1$ dan $g(x) = 3x+5$. Tentukan $(f \circ g)^{-1}(x)$ dan verifikasi $(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}$.
Diketahui $f(x) = \dfrac{x+2}{x-1}$ dan $g(x) = 4x-3$. Tentukan $(g \circ f)^{-1}(x)$.
Diketahui $f(x) = 2x+3$ dan $g(x) = \dfrac{x-1}{x+2}$. Tentukan $(f \circ g)^{-1}(x)$ dan $(g^{-1} \circ f^{-1})(x)$, lalu verifikasi.
ETabel Ringkasan
Jenis-Jenis Fungsi
Jenis
Syarat
Keterangan
Injektif
$f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2$
Input berbeda → output berbeda
Surjektif
$f(A) = B$
Range = Kodomain
Bijektif
Injektif + Surjektif
Syarat invers terdefinisi
Rumus Cepat Invers
Fungsi $f(x)$
Invers $f^{-1}(x)$
Keterangan
$ax+b$
$\dfrac{x-b}{a}$
$a \neq 0$
$ax^2+b$ $(x \geq 0)$
$\sqrt{\dfrac{x-b}{a}}$
$a > 0$, $x \geq b$
$a(x-p)^2+q$ $(x \geq p)$
$p+\sqrt{\dfrac{x-q}{a}}$
$a > 0$, $x \geq q$
$\dfrac{ax+b}{cx+d}$
$\dfrac{dx-b}{-cx+a}$
$ad-bc \neq 0$
$a^{bx+c}$
$\dfrac{\log_a x-c}{b}$
$D_{f^{-1}}=\{x \mid x > 0\}$
$\log_a(bx+c)$
$\dfrac{a^x-c}{b}$
$D_{f^{-1}}=\mathbb{R}$
Sifat Komposisi dan Invers
Konsep
Rumus / Notasi
Keterangan
Definisi komposisi
$(f \circ g)(x)=f[g(x)]$
$g$ dikerjakan lebih dulu
Syarat terdefinisi
$R_g \subseteq D_f$
Range $g$ harus termuat di domain $f$
Tidak komutatif
$f \circ g \neq g \circ f$
Urutan mempengaruhi hasil
Invers komposisi
$(f \circ g)^{-1}=g^{-1} \circ f^{-1}$
Urutan dibalik saat ambil invers
Mencari komponen
$f \circ g=h \Rightarrow g=f^{-1} \circ h$
Gunakan invers untuk balikkan
Self-inverse
$a+d=0$ (pecahan linear)
$f(f(x))=x$
Koneksi ke Materi Berikutnya
Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers adalah fondasi utama Limit dan Turunan. Sifat $(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}$ akan muncul kembali saat membahas turunan fungsi komposisi (Chain Rule) dan substitusi pada integral.
Sekarang
$(f \circ g)(x)$
Komposisi fungsi Urutan penting
Berikutnya
$\frac{d}{dx}[f(g(x))]$
Chain Rule Turunan Pakai konsep komposisi
Diskusi & Pertanyaan
Giscus
Punya pertanyaan tentang materi ini? Tulis di kolom diskusi. Login dengan akun GitHub gratis.
💬
Sistem komentar menggunakan Giscus — gratis, tanpa iklan, berbasis GitHub Discussions.
Untuk mengaktifkan, konfigurasikan repo di giscus.app lalu tempel script-nya di sini.